Множество ирациональных чисел и рац чисел – это множество вещ. (действ) чисел. Комплексным будем называть числа вида а+в*i где а и в действ. числа , i мнимая еден. Удовлетвор. Условию i^2=-1 Пусть z=а+в*i комплю число число а наз-сядейст чатсью компю числа Z число в мнимая часть z . Re z действ часть = а = re(a+b*i) Im z(мнимая ч.Z) = im(a+b*i)=b Z1=a1+b1*i Z2=a2+b2*i Z1=z2 означает что а1 = а2 в1=в2 Комп. Чило z=a+b*i будем называть вещественным если b = 0 .тогда z =a чисто мнимым если а=0т.е z=b*i Действия : пусть z1=a1+b1*i z2 =a2+b2*i их суммой будем называть число z1+z2 =(а1+а2)+i(в1+в2); z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)=a1a2+i(a1b2+b1a2+b1b2) Заменим i^2на -1: =a1a2-b1b2+i(a1b2+a1b2) Пусть z1=a1+b1*i z2=a2+b2* i z1 \z2=> (a1+b1i)\(a2+b2i)=(a1+b1i)(a2-b2i)\(a2^2-b2^i^2)=(a1a2+b1+b2)\(a2^2+b2^2) + (a2b1-a1b2)*i\(a2^2+b2^2) Комплексное число изображается точкой с координатами (а;в) Итак плоскость которыми изображаются комплекные числа наз. Комп. Плоскость. При этом действит. Числа изобр. Точкам оси х-ов, ее наз. Действит. Осью далее чисто мнимые числа иэображ. Точками оси у ее наз . мнимой осью . компл число z еще может быть изображено в виде вектора координаты которого (а,в,) при сложении компл. Числа векторы изображ эти компл. Чила складываются Пусть z=a+bi длину ветора изображающ, ком. Число будем наз . его модулем а угол который этот вектор образует с полож. Направлением оси х-ов аргументом [z]=a^2+b2^2 под корнем z=r(cosф+sinф) это тригонометрическая форма числа z . z1*z2=z1*z2(cosф1+ф2)+i(sin(ф1+ф2)) Arg(z1z2) =argz1+argz2 при перемнож. Комп. Чисел модули перемножаются а аргументы складываются при делении компл. Чисел их модули делятся а аргументы вычитаются : z^n=z^n(cosnф+sinnф) Модуль разности 2 компл. Чисел есть расстояние между точками изображ эти компл числа Формулы эйлера :cosф=(e^(iф)+e^(-iф))\z с синусом тоже только минус и i полож. Показат форма компл. Числа z=n*e^(iф),e ^(iф)=1 Пусть z=a+bi сопряженным для него будем называть компл. Число z`=a-bi; z*z`=a^2-b^2*i^2=a^2+b^2 – это [z]^2=a^2+b^2 Корнем nой степени из компл. Чила z называется любое компл. Число w => w^n+z Пусть z не равно 0. Можно сказать корень n ой степени из z имеет n попернор разделенные значения если z=r(cosф+sinф) то все значения корня n степени из z находятся из соответствия : корень ентой степени из зет равно корень энтой степени из эр умноженная на скобку в скобках : cos(ф+2пk)\n+isin(ф+2пk)\n где k=0,1 , n-1 когда n=z корень из z = плюс минус корень из r*(cosф\2+isinф\2) Пусть {ak} числовая последавательность (1) а1+а2+а3+….+аk = сумма аk Вырвжение (1) будем называть числовым далее будем рассматривать последовательность s1=a1 s2=a1+a2….. sn=a1+a2+…+an Последовательность sn будем называть последовательностью частичных сумм ряда (1) числовой ряд (1) будем назвать сходящимся если сходятся послед его част сумм , расход если послед его част сумм расход пусть ряд (1) сходящийся тогда число s=lim при n ->% sn называется его суммой Пусть ряд: сумма ak сходится тогда отсюда следует что аk ->0 k->% доказательство : Ряд будем называть положительным если все его члены неотрицательные. Теорема (критерии сход. Положительного ряда ) полож. Ряд сход тогда и только тогда когда послед ть. Его частичн сумм ограничена сверху Доказательство: Пусть (1) сумма к=1 до беск аk и (2) сумма к=1 до беск вk два полож. Ряда пусть далее аk <или= bk для к=т 1,2,… тогда : 1) из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда(1) 2)из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2) Доказательство : Пусть(1) сумма к=1 до беск. аk и (2) сумма от к=1 до беск. вk два ряда с полож. Членами далее пусть существ. Конечный и отл. От 0 limк->% (аk \вk) тогда ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно замечание в в частности ряды (1) , (2) сходятся либо расходятся одновременно если аk ~ bk Теорема 1 признак коши о сходимости числового ряда : пусть (1) сумма о к=1 до беск. – положительный ряд , пусть далее суще. Lim корень к-ой степени из аk = L тогда ряд (1) сходится если L<1 и расход. Если L>1; если L=1 то признак срабатывает и о сходимости говорить нельзя . теорема 2 признак даламбера о сходимости числ ряда : пусть (1) сумма к=1 до беск. аk - ряд с положитель членами пусть к=1 далее сущ. limk->% ((аk+1 )\ аk )=L тогда ряд (1) сходится если L<1 и расх. Если L>1 Пусть функция f(x) неотрицательная и не возрастает в промежутке [1;%) тогда ряд сумма к=1 до беск. f(x) сходится тогда и только тогда когда сходящейся является последовательность { аk } где аk = интеграл от 1 до n f(x)dx. Теорема : ряд (1) сумма от к=1 до беск. Сходится тогда и только тогда когда для любого E>0 сущ N(E) такой что для любог. n>N и для люб. P натурального справедливо неравенство (3) [сумма от к=1+n до n+p] Ряд вида (1) а1-а2+а3-...+(-1)^(k-1)*аk = сумма от к+1 до беск. (-1)^k-1*аk где аk >0 при люб. к называется знакочередующим. Теорема , признак лейбница сходимости ряда (знакочередующего) ряд (1) сходится если последовательность { аk } монотонно убывает и lim аk =0 Предложение пусть сходится ряд (1) сумма к=1 до беск. [аk ] отсюда следует что ряд (2) сумма к=1 до беск. аk так же является сходящимся. Т.к. ряд(1) сходится то него выполн. Условия критерия коши т.е. для люб.E>0 сущ. N(E) такой что люб. n>N(E) и люб. p натур.: сумма от к=n+1 до p+n аk <Е ; [сумма от k=n+1 до n+p аk ] < или = сумма от k=n+1 до n+p[ аk ](3) из неравенства (3) следует что [сумма от k=n+1 до n+p аk ]<Е, если n,N(E) и для люб. р натур. Т.е. условие критерия коши выполняются для ряда(1) следов. Ряд (2) сходится. Определение: 1) сумма от к=1 до беск. ак будем называть абсолютно сходящимся если сходится ряд сумма от к=1 до беск [ак] 2) ряд сумма к=1 до беск. Ак называется условно сходящимся если он сходится а ряд сумма от к=1 до беск [ак] расходится. Ряд полученный из абсол. Сходящегося путем произвольной перестановке его членов сходится абсолютно и имеет ту же сумму что и исходный ряд Для любого наперед заданного числа S члены условно сходящегося ряда можно переставить так что преобразованный ряд будет сходиться к сумме S S- произвольное число (1) Сумма от к=1 до беск. ак*вк. Теорема 1 признак дирихле ряд (1) сходится если 1)сущ. C=const такая что [Сумма от к=1 до n ак]<или= С для люб n. 2) {вк} монотонна и lim k->% (вк)=0 , оба условия выполняются. Теорема 2 признак абеля ряд (1) сходится если 1) Сумма от к=1 до n ак сходящаяся а 2) {вк} монотонна и ограничена Функции заданные неявно Будем говорить что функция у=ф(х) задана неявно уравнением (1) F=(x,y)=0, если F=(x, ф(х))=0 для люб х принадл. Интервалу альфа бета Пусть F=(x,y) дифференцируемая в некотор окресности точки (х0,у0) а дF\ду –непреывна в точки (х0,у0) тогла если F=(x,y)=0, дF\ду( в точке (х0,у0)) не равна 0, то для люб. довольно малого Е>0 сущ. (х0-0,у0+0) точки х0 такие что в указанной окреснасти сущ. Единств. Функция у=ф(х) со значениями в Е-окресности точки у0 являющиеся решением уравнения: F=(x,y)=0-> эта функция непрерывна и диференцир. В указ. Окресности точки х0, невные функции : х^2+y^2=1 и т.д. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство: F(x,y,y’,y’’, …,y’(n))=0 где у искомая функция одного переменного х , а у’,y”, …,y’(n))=0 – её производные. Наивысший порядок производной искомой функции содержащий ся в диф уравнении называется порядком этого диф. Ура. Уравнение вида f(x,y,y')=0 (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка . Рассмотрим способы решения некоторых его типов. Для уравнений вида dy\dx=f(x,y)с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности . Пусть в области D плоскости ( x , y ) функция f ( x , y ) и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку ( x 0 ; y 0 ) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая. Теорема Коши. Пусть F(х,у) и её астная производ ?F/?y неприрыв в облости D => для любой точки (x0,y0)€D 1)Сущест. Решение у=Ч(х) диф урав. (1) удов условие Y0=Ч(х0) 2)Своеобраз любые ц решен. Урав (1) У=Ч1(х) и У=Ч2(х) удов условию У0=Ч1(х0) И У0=Ч2(х0) совпадают там где оба они определены. f(x)dx + g(y)dy = 0 с непрерывными функциями f(х) и g(y). Равенство integral f(x)dx+integr g(y)dy=c где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными. Начальное условие для уравнения f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x0) = y0 или в виде x(y0) = x0 . называется дифференциальное уравнение вида f1(x)g1 (y)dx + f2(x) g2(y)dy =0 . Функции f1(x), g1(y), f2(x), g2(y) непрерывны в cвоих областях определения и g1(y)f2(x) ? 0 . Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение g1(y)f2(x), получим уравнение с разделенными переменными : Общий интеграл этого уравнения имеет вид : Решение уравнения в области, где g1(y)f2(x) = 0 требует специального обсуждения. Уравнение вида y" + py' + qy = f(x), где р и q — вещественные числа, f(x) — непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения н общего решения соответствующего однородного уравнения. Нахождение общего решения однородного уравнения изучено. Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования. , ряд синусоидальных и косинусоидальных функций, посредством которого можно представить все ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Периодические функции, как правило, ограничены (область определения от -p[p), их можно анализировать как сумму простых гармонических составляющих. Таким образом, если дано, что f(x) является функцией, где область определения х лежит между -p и п, то при f(x+2p)=f(x) она может быть выражена как f(x)=а02+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+... В этом ряду энные коэффициенты аn и bn будут равны: аn=1/p/т±ppf(x)cos(nx)dx и bn=1/p/т±ppf(x)sin(nx)dx